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质数筛
Q:给定自然数 n ,求 [1, n] 区间内的所有质数。
1、原始筛法(时间复杂度:O(n√n))
算法思路:不加思考的暴力枚举,即逐个判断区间内每个数是否是质数。判断单个质数的时间复杂度为O(√n) ,判断 1 ~ n 是否是质数的时间复杂度为O(n√n) 。
代码展示:
int tot, prime[N]; /* prime[i] 为第 i 个质数 */bool is_prime(int n) { if (n < 2) return false; for (int i = 2; i * i <= n; i ++) if (!(n % i)) return false; return true;}void prime_sieve() { for (int i = 1; i <= n; i ++) if (is_prime(i)) prime[++ tot] = i;}
2、普通筛法(时间复杂度:O(n log n))
算法思路:和原始筛法相比有改进,一个(大于 1)自然数的 k 倍数(k > 1)都一定不是质数。
代码展示:
bool is_prime[N]; /* is_prime[i] 表示 i 是不是质数,false 即是 */int tot, prime[N]; /* 共有 tot 个质数,prime[i] 为第 i 个质数 */ void prime_sieve() { for (int i = 2; i <= n; i ++){ if (!is_prime[i]) prime[++ tot] = i; for (int j = i << 1; j <= n; j += i) is_prime[j] = true; } }
3、埃氏筛 形式 1(时间复杂度:O(n log logn))
算法思路:著名的质数筛法,由古希腊数学家 Eratosthenes(埃拉托斯特尼)发明,和普通筛法相比减少了许多冗余,一个质数的 k 倍数(k > 1)都一定不是质数。
代码展示:
bool is_prime[N]; /* is_prime[i] 表示 i 是不是质数,false 即是 */int tot, prime[N]; /* tot 个质数,prime[i] 为第 i 个质数 */void Eratosthenes_sieve() { for (int i = 2; i <= n; i ++){ if (!is_prime[i]){ prime[++ tot] = i; for (int j = i << 1; j <= n; j += i) is_prime[j] = true; } }}
4、埃氏筛 形式 2(时间复杂度:O(n log logn))
算法思路:埃氏筛的一种不明显的优化,大于 1 的整数的质数倍数不是质数。
代码展示:
bool is_prime[N]; /* is_prime[i] 表示 i 是不是质数,false 即是 */int tot, prime[N]; /* 共有 tot 个质数,prime[i] 为第 i 个质数 */ void Eratosthenes_sieve() { for (int i = 2; i <= n; i ++){ if (!is_prime[i]) prime[++ tot] = i; for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n; j ++) is_prime[i * prime[j]] = true; } }
5、欧拉筛(时间复杂度:O(n))
算法思路:最著名、最常用的质数筛!在埃氏筛的形式 2 上多了一行神奇的代码,时间复杂度就从O(nlog logn)降至O(n) ,因其是线性复杂度,所以也称线性筛。如果已经被筛过了,则可以终止这轮筛选合数。
代码展示:
bool is_prime[N]; /* is_prime[i] 表示 i 是不是质数,false 即是 */int tot, prime[N]; /* 共有 tot 个质数,prime[i] 为第 i 个质数 */ void Linear_sieve() { for (int i = 2; i <= n; i ++){ if (!is_prime[i]) prime[++ tot] = i; for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n; j ++){ is_prime[i * prime[j]] = true; if (!(i % prime[j])) break; // beautiful !!! } } }
5、埃氏筛 形式 1 + bitset(时间复杂度:O(n loglogn))
算法思路:令人难以置信的是,埃氏筛搭配 C++ 神奇的 bitset 容器(不是 STL),可以让高复杂度的它效率高于低复杂度的欧拉筛!!!
代码展示:
bitsetis_prime; /* is_prime[i] 表示 i 是不是质数,true 即是 */int tot, prime[N]; /* tot 个质数,prime[i] 为第 i 个质数 */void Eratosthenes_sieve() { is_prime.set(); /* 初始化为 true */ is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i <= n; i ++){ if (!is_prime[i]){ prime[++ tot] = i; for (int j = i << 1; j <= n; j += i) is_prime[j] = false; } }}
参考资料:OI Wiki
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